tugas matematika kelas 3

1. Statistika

1.1. Ukuran Pemusatan Data

§ Mean

Contoh: Tentukan mean dari data berikut:

Data	Frekuensi (fi)	Titik tengah (xi)	fi . xi
1 – 3	4	2	8
4 – 6	7	5	35
7 – 9	8	8	64
10 – 12	3	11	33
13 – 15	5	14	70
	27		210

Jadi rata-rata (mean) = 210:27 = 7,77

§ Median

Data	Frekuensi (fi)
1 – 3	4
4 – 6	7
7 – 9	8
10 – 12	3
13 – 15	5
	27

à kelas median
Tb = 6,5; n=27; f=8; Sf _sebelum = 11; c=3

Me = Tb + (1/2 x n - Sf_sebelum) x c

f_median

Me = 6,5 + (^2,5/₈) x 3

Me = 6,5 + 0,94

Me = 7,44

§ Modus

Data	Frekuensi (fi)
1 – 3	4
4 – 6	7
7 – 9	8
10 – 12	3
13 – 15	5
	27

à kelas modus

Tb=6,5; f1=1; f2=5; c=3

Mo = Tb + (^f1/_f1+f2) x c

Mo = 6,5 + 0,49

Mo = 6,99

1.2. Ukuran Penyebaran Data

§ Range

Contoh: Tentukan range dari: 4, 6, 6, 8, 8, 8, 10, 10, 10

Jawab:

R = 10 – 4 =6

§ Simpangan Kuartil (Qd)

Contoh: Tentukan Qd dari: 2, 3, 4, 6, 6, 8, 8, 8, 10, 10, 10

Jawab: n=11

Q1 = ⁿ⁺¹/₄ = 3 (Data: 4)

Q3 = ³⁽ⁿ⁺¹⁾/₄ = 9 (Data: 10)

Qd = ½ (Q3 – Q1) = ½ x 6 =3

§ Simpangan Rata-rata (SR)

Contoh: Tentukan SR dari 2, 4, 6, 8, 10, 12

Jawab: rata-rata = 7

SR = (2-7)+(4-7)+(6-7)+(8-7)+(10-7)+(12-7) = 0

7

§ Simpangan Baku (S)

Contoh: hitunglah simpangan baku dari 1, 2, 3, 4, 5

Jawab: rata-rata = 3

S = √^{(1-3)2 + (2-3)2 + (3-3)2 + (4-3)2 + (5-3)2} = 1

¹⁰

2. Peluang

2.1. Faktorial

4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24

2.2. Permutasi

Contoh: Berapa banyak macam susunan huruf pada kata “DADU”?

₄P₄ = 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24

2.3. Kombinasi

Contoh: Ada berapa cara 2 orang dipilih dari 10 orang untuk bergabung dalam lomba?

Jawab:

₁₀C₂ = 10! = 45

2! x 8!

2.4. Peluang

Contoh: Berapa peluang kejadian muncul bilangan genap pada pelemparan dadu?

Jawab:

P(A) = n(A) = 3 = ½

N(S) 6

2.5. Peluang Gabungan Dua Kejadian Saling Lepas

Contoh: Dua buah dadu dilempar bersamaan sebanyak 1 kali. Tentukan peluang kejadian munculnya jumlah angka kedua dadu itu sama dengan 4 atau 5.

Jawab:

Kejadian munculnya jumlah angka kedua dadu = 4 (1,3; 2,2; 3,1)

P(A) = ³/₃₆ = ¹/₁₂

Kejadian munculnya jumlah angka kedua dadu = 5 (1,4; 2,3; 3,2; 4,1)

P(B) = ⁴/₃₆ = ¹/₉

Jadi P(A È B) = P(A) + P(B) = ³/₃₆ + ⁴/₃₆ = ⁷/₃₆

2.6. Peluang Kejadian yang Saling Bebas

Contoh: Dua buah dadu dilempar sekali, tentukan peluang munculnya mata dadu 2 pada dadu pertama dan mata dadu 6 pada mata dadu kedua!

P(A) = P(2) = ¹/₆

P(B) = P(6) = ¹/₆

P(A Ç B) = P(A) x P(B) = ¹/₆ x ¹/₆ = ¹/₃₆

7. Limit

7.1. Limit Fungsi Aljabar

Contoh: lim 2x² – 2x = 2x (x -1) = 2x = 2.1 = 2

^x®1 x – 1 (x – 1)

7.2. Limit Fungsi Trigonometri

lim sin x = 1 x®1 x

lim x = 1 x®1 sin x

lim x = 1 x®1 tan x

lim tan x = 1 x®1 x

lim sin ax = a x®0 bx b

lim ax = a x®0 sin bx b

lim sin ax = a x®0 sin bx b

lim tan ax = a x®0 bx b

lim sin ax = a x®0 tan bx b

lim tan ax = a x®0 tan bx b

lim tan ax = a x®0 sin bx b

DIFERENSIAL / TURUNAN

PENGERTIAN

Turunan fungsi f(x) untuk tiap nilai x ditentukan dengan rumus :

RUMUS – RUMUS TURUNAN

1. f(x) = k maka f′(x) = 0

2. f(x) = ax maka f′(x) = a

3. f(x) = ax ⁿ maka f′(x) = an x ^n-1

4. f(x) = u(x) ± v(x) maka f′(x) = u′(x) ± v′(x)

5. f(x) = (u(x))ⁿ maka f′(x) = n ( u(x) )^n-1 . u′(x)

6. f(x) = u(x) . v(x) maka f′(x) = u′(x).v(x) + u(x).v′(x)

7. maka

8. f(x) = sin u maka f ′(x) = cos u . u′

9. f(x) = cos u maka f′(x) = - sin u . u′

10. f(x) = tan u maka f′(x) = sec ² u . u′

11. f(x) = cotan u maka f′(x) = - cosec ² u . u′

12. f(x) = sec u maka f′(x) = sec u . tan u . u′

13. f(x) = cosec u maka f′(x) = - cosec u . cotan u . u′

14. maka

15. maka

16. f(x) = Ln u maka

17. maka

18. maka

Persamaan Garis Singgung Kurva

• Suatu titik P(x₁,y₁) terletak pada kurva y = f(x) , maka persamaan garis singgung yang melalui titik itu adalah y – y₁ = m (x – x₁) dengan m = f′(x₁).

• Dua garis sejajar jika m₁ = m₂ dan saling tegak lurus jika m₁.m₂ = -1.

Fungsi naik dan fungsi turun

• Fungsi f(x) naik jika f′(x) > 0

• Fungsi f(x) turun jika f′(x) <>

• Fungsi f(x) stasioner jika f′(x) = 0

Titik stasioner dan jenis stasioner

• Jika f′(a) = 0 maka x=a disebut pembuat stasioner, f(a) disebut nilai stasioner dan (a , f(a)) disebut titik stasioner.

• (a , f(a)) disebut titik balik maksimum jika f′(a^-) > 0 , f′(a) = 0 , f′(a⁺) <>

• (a , f(a)) disebut titik balik minimum jika f′(a^-) <>+) > 0 atau jika f′(a) = 0 dan f′′(a) > 0.

• (a , f(a)) disebut titik belok jika f′(a^-) > 0 , f′(a) = 0 , f′(a⁺) > 0 atau f′(a^-) <>+) <>

INTEGRAL

Integral analitik suatu fungsi telah dipelajari pada kalkulus. Untuk selanjutnya yang akan dibahas di sini integrasi numerik yang merupakan metode pendekatan dari integrasi analitik. Integrasi numerik akan dilakukan apabila: integral tidak dapat (sukar) diselesaikan secara analitik, atau fungsi yang akan diintegralkan tidak diberikan dalam bentuk analitik (tidak lengkap), tetapi dalam bentuk tabel.

Metode integrasi numerik merupakan integral tertentu yang berdasarkan pada hitungan perkiraan. Seperti pada metode perhitungan integral secara analitik, hitungan integral secara numerik dapat dilakukan dengan membagi luasan dalam sejumlah pias kecil. Jumlah luas semua pias yang disebut dengan luas total.

Dalam perhitungan integrasi numerik, metode yang akan dibahas adalah metode Newton-Cotes dan metode Gauss. Pada metode Newton Cotes, ada tiga metode yang sering digunakan, yaitu metode trapesium, Simpson 1/3 dan Simpson 3/8. Metode Newton-Cotes digunakan jika fungsinya diketahui atau fungsinya dalam bentuk tabel, sedangkan metode Gauss digunakan jika fungsinya diketahui (bukan dalam bentuk tabel).